Appareil pour amorcer un siphon sans le secours de la bouche

Appareil pour amorcer un siphon sans le secours de la bouche

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Pour éviter d’aspirer l’eau avec la bouche, chose qui n’est possible qu’avec les très petits tubes, on emploiera la disposition suivante :
Soit un système de tubes s’engageant à frottement l’un dans l’autre, le mâle étant fixé à la branche extérieure d’un siphon, de manière que l’écoulement se fasse par lui. Soit ΘΝ le mâle et ΤΦ la femelle qui doit d’avance être lutée sur l’ouverture d’un vase ΧΨ renfermant un peu plus d’eau que le siphon n’en peut contenir,[7] et ayant au fond un orifice Ω. Quand on désire aspirer l’eau du vase AB, on ferme avec le doigt l’orifice du vase et on le remplit d’eau; puis, adaptant le tube mâle au tube femelle, on ouvre l’orifice Ω. Le vase ΧΨ se vidant, l’air du siphon passe dans l’espace vide et le liquide qui est dans le vase ΑΒ sort de manière à remplir Le siphon; alors on retire le vase ΧΨ et on laisse couler le siphon.
Pour que l’écoulement se fasse convenablement, le siphon doit être vertical. On y arrive en fixant au rebord du vase ΑΒ deux règles, et en plaçant la branche intérieure du siphon entre ces barreaux de manière à les toucher tous deux; puis, de chaque côté de cette même branche, on enfonce à l’intérieur (des règles) une petite cheville qui presse contre le tube; de cette façon celui-ci ne pourra s’incliner ni en avant ni en arrière, ni à droite ni à gauche; mais, les chevilles étant bien affermies entre les règles, il descendra exactement suivant la verticale. 
Donc, un siphon est un tuyau utilisé pour faire passer un liquide d'un endroit élevé vers un endroit moins élevé.
Le fait que le jet de liquide s'écoule « tout seul » une fois le siphon mis en place peut être « mystifiant ». Et pourtant, il suffit de peu pour expliquer tout ça : la gravité et la pression atmosphérique.
  1. définir la pression : c'est la force normale (par unité de surface) exercée par les « morceaux » de fluide les uns sur les autres. La pression atmosphérique est banalement la pression exercée par l'air de l'atmosphère sur ce qu'il touche (en fait c'est le résultat de milliards de collisions à la seconde…).
  2. on voit aussi que la pression dans un fluide au repos varie avec la hauteur. À la même hauteur, la pression est la même (sinon un morceau de fluide situé à cette hauteur bougerait horizontalement!). La pression est toutefois plus élevée en bas qu'en haut (il faut une force qui s'oppose à la gravité, sinon les morceaux de fluide tomberaient!).
La situation est (disons que cette journée-là P ATM = 100 kPa) :
 
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 Pressions absolues
 
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Pressions relatives
Maintenant :
A) Est-il possible que le fluide tienne en équilibre dans la situation suivante ?
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Réponse : Certainement, mais il faut une sous-pression au point A !
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L'homme (mal dessiné, il est vrai) a créé une sous-pression en enlevant l'air dans la paille. Si l'homme s'en va, la pression (relative) au point A retombe à 0. Le fluide dans la paille retombe dans le récipient sous l'effet de la gravité.
B) Est-il possible que le fluide tienne en équilibre dans la situation suivante ?
 
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Encore une fois : certainement! Il faut maintenant une surpression au point A. Cette surpression peut être fournie en bouchant le tuyau d'une façon ou d'une autre (avec le pouce, pourquoi pas?).
 
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Si le bouchon est enlevé, ou n'est pas là, il ne peut y avoir équilibre et le fluide se met en écoulement!
On peut arriver à la situation de la figure ci-haut
  • en aspirant l'air du tuyau.
  • en remplissant le tuyau et en l'amenant ensuite dans cette position.
  • en versant rapidement du fluide dans le récipient. C'est ce qui se produit quand vous tirez la chasse d'eau de votre cuvette (voir ci-bas)!

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Lorsque la différence de pression ne peut plus équilibrer la force gravitationnelle (par unité de surface), le fluide bouge , et toute la "magie" du siphon est là!
 
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Quand on retire le bouchon brusquement en A, la pression chute de +10 kPa à 0 kPa. L' « information » de cette baisse de pression se propage dans tout le tuyau extrêmement rapidement (à la vitesse du son dans le fluide). Le fluide situé au-dessus de A est en déséquilibre et tombe, le fluide juste au-dessus lui aussi en déséquilibre et tombe, etc…. Les morceaux de fluide à droite de B exercent moins de force qu'avant sur les morceaux de fluide à gauche (une autre façon de parler de la baisse de pression) et le fluide en B bouge vers la droite…
Bref :
  • De C à B le fluide est poussé par la différence de pression, qui l'emporte sur la force gravitationnelle. Rappelons-nous que P=0 kPa signifie une pression réelle (absolue) de 100 kPa!!
  • De B à A la force gravitationnelle l'emporte sur la différence de pression et entraîne le fluide vers le bas.
Note :
  • la pression en B ne peut plus être calculée par PA+ rgh … Comme nous avons maintenant un fluide en mouvement, il faut utiliser l'équation de Bernouilli, ou mieux, l'équation de l'énergie, mais cela est une autre histoire.











L'aéroglisseur



Avec un CD usagé, un ballon de baudruche et un peu de matière pour adapter l’un sur l’autre (inutile de faire exactement comme nous, vous trouverez sans doute plus simple), on arrive à illustrer le fonctionnement des aéroglisseurs qui faisaient il n’y a pas si longtemps la traversée de la Manche.

Démonstrations des formules trigonométriques


5. tg(a – b) = tg a – tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ           1+ tg a tg b
Démonstration: Tg(a – b) = sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
                cos( a – b)    cos a cos b + sin a sin bA condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.Il vienAddition des angles :
1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Démonstration: Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b Il s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0)   De A sont (cos a ; sin a)   De B sont (cos b ; sin b)   De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b)) D’autre part, BÔA = a – b = EÔD
Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur.)
Ou encore ED²= AB²Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points, dans un repère orthonormé :[cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)²Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2 sin b sin a + sin ²a2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin bCos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a : Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) Or,cos (- b) = cos bSin (- b) = -sin b Donc, cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a Démonstration: Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires : Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) ) Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b)Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin bSin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles complémentaires)4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a : Sin(a + b) = sin(a – (- b)) Sin(a + b) = sin a cos (- b) – cos a sin (- b) Sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles opposés) t après simplification,Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a – b ≠ π/2 + kπ :Tg(a – b) = tg a – tg b
      1 + tg a tg b6. tg(a + b) = tg a + tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a + b ≠ π/2 + kπ          1 – tg a tg b
Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b) = tg a – tg b      , on a :1+ tg a tg b
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a + b ≠ π/2 + kπ : Tg(a – (- b)) = tg a – tg(- b) (nombres trigonométriques d’angles opposés) 1 + tg a tg(- b)
Tg(a + b) = tg a + tg b       1 – tg a tg b
Duplication des angles :
1. cos 2a = cos² a – sin² aDémonstration: Si l’on pose a = b Cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a Cos 2a = cos² a – sin² a2. sin 2a = 2 sin a cos aDémonstration: Si l’on pose a = b Sin( a + a) = sin a cos a + sin a cos a Sin 2a = 2 sin a cos a3. tg 2a = 2 tg a si 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2    1 – tg² a
Démonstration: Si l’on pose a = b Tg( a + a) = tg a + tg a
       1 – tg a tg a Tg 2a = 2 tg a
1 – tg² aFormule de Carnot :
1. 2 cos²a = 1 + cos 2aDémonstration: Cos 2a = cos²a – sin²aCos 2a = cos²a – (1 – cos²a)Cos 2a = 2 cos² a – 12 cos²a = 1 + cos 2a 2. 2 sin²a =1 – cos 2aDémonstration: Cos 2a = cos²a – sin²a Cos 2a = 1 – sin²a – sin²a Cos 2a = 1 – 2 sin²a 2 sin²a = 1 – cos 2aMultiplication de l’angle par trois :
1. cos 3a = 4 cos³a – 3 cos aDémonstration: Cos 3a = cos(2a + a) Cos 3a = cos 2a cos a – sin 2a sin a Cos 3a = (cos²a – sin²a) cos a – (2 sin a cos a) sin a Cos 3a = Cos³a – cos a sin²a – 2 sin²a cos a Cos 3a = Cos³a – 3 cos a sin²a Cos 3a = Cos³a – 3 cos a (1- cos²a) Cos 3a = Cos³a – 3 cos a + 3 cos³a Cos 3a = 4cos³a – 3 cos a2. sin 3a = 3sin a – 4 sin³aDémonstration: Sin 3a = sin(2a + a) Sin 3a = Sin 2a cos a + sin a cos 2a Sin 3a = (2 cos a sin a) cos a+ sin a (cos²a – sin²a) Sin 3a = 2 cos²a sin a + cos²a sin a – sin³a Sin 3a = 3 cos²a sin a – sin ³a Sin 3a = 3 (1- sin²a) sin a – sin³a Sin 3a = 3 sin a – 3 sin³a – sin³a Sin 3a = 3 sin a – 4 sin³a3. tg 3a = 3 tg a – tg³a
   1 – 3 tg²aDémonstration: ///////////////////////Nombres trigonométriques en fonction de tg a/2 :
1. cos a = 1 – tg²a/2 si a ≠ π + 2kπ    1 + tg²a/2
Démonstration: Cos a = cos²a/2 – sin²a/2 (duplication)Cos a = cos²a/2 – sin²a/2  cos²a/2 + sin²a/2 (cos²a + sin²a = 1)
Cos a = cos²a/2 – sin²a/2          Cos²a/2 (on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est
 cos²a/2 + sin²a/2 non nul car a ≠ π + 2kπ)          Cos²a/2
Cos a = 1 – tg²a 1 + tg²a
2. sin a =   2 tg a/2 si a ≠ π + 2kπ
   1 + tg²a/2Démonstration: Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 (duplication) Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 cos²a/2 + sin² a/2 (cos²a + sin²a = 1)
Sin a = 2 sin a/2 cos a/2       cos²a/2 (on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est
cos²a/2 + sin²a/ non nul car a ≠ π + 2kπ)
      cos²a/2
Sin a = 2 tg a/2 1 + tg²a/2
3. tg a = 2 tg a/2 si a ≠ π + 2kπ et a ≠ π/2 + kπ  1 – tg²a/2Démonstration: Tg a = sin a
cos a
Tg a =   2 tg a/2    .  1 + tg²a/2          1 + tg²a/2       1 – tg²a/2
Tg a = 2 tg a/2 1 – tg²a/2
Factorisation (Simpson) :
1. sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos(p – q)   2              2
Démonstration: Sin(a + b) + sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b – sin b cos a) (formules d’addition Sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos (p – q)             2              2
2. sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)     2              2
Démonstration: Sin(a + b) – sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) – (sin a cos b – sin b cos a) (formules d’addition Sin(a + b) – sin(a – b) = 2 sin b cos a des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)             2               2
3. cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)
     2                2Démonstration: Cos(a + b) + cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) (formules d’addition
Cos(a + b) + cos(a – b) = 2 cos a cos b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)               2               2
4. cos p – cos q = - 2 sin (p + q) sin (p – q)         2              2
Démonstration: Cos(a + b) – cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) – (cos a cos b + sin a sin b) (formules d’addition Cos(a + b) – cos(a – b) = -2 sin a sin b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Cos p – cos q = -2 sin(p + q) sin(p – q)               2               2
5. tg p + tg q = sin(p + q) si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ
cos p cos q
Démonstration: Tg p + tg q = sin p +  sin q (définition de la tangente d’un angle)
        cos p     cos q
Tg p + tg q = sin p cos q + sin q cos p (réduction au même dénominateur) cos p cos q
Tg p + tg q =    sin(p + q) (formules d’addition des angles) cos p cos q
6. tg p – tg q =  sin(p – q) si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ cos p cos q
Démonstration: Tg p – tg q = sin p – sin q
         cos p   cos q Tg p – tg q = sin p cos q – sin q cos p
cos p cos q tg p – tg q =  sin(p – q)
        cos p cos qTransformation de produits en sommes :
1. sin a cos b = ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ]Démonstration: ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ [ (sin a cos b – sin b cos a) + (sin a cos b + sin b cos a) ] ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ (2 sin a cos b) ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = sin a cos b2. sin a sin b = ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ]Démonstration: ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) – (cos a cos b – sin a sin b) ] ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ (2 sin a sin b) ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = sin a sin b 3. cos a cos b = ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ]Démonstration: ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) + (cos a cos b – sin a sin b) ] ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ (2 cos a cos b) ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = cos a cos b


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