5. tg(a – b) = tg a – tg bsi a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ 1+ tg a tg b Démonstration:Tg(a – b) = sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a cos( a – b) cos a cos b + sin a sin bA condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.Il vienAddition des angles : 1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Démonstration:Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec les abscissesA, le point tel que l’amplitude de EÔA égale aB, le point tel que l’amplitude de EÔB égale bD, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - bIl s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0) De A sont (cos a ; sin a) De B sont (cos b ; sin b) De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b))D’autre part, BÔA = a – b = EÔD Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur.) Ou encore ED²= AB²Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points, dans un repère orthonormé :[cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)²Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2 sin b sin a + sin ²a2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin bCos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin bDémonstration:En remplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a :Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b)Or,cos (- b) = cos bSin (- b) = -sin bDonc, cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos aDémonstration:Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires :Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) )Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b)Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin bSin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b(nombres trigonométriques d’angles complémentaires)4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos aDémonstration:En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a :Sin(a + b) = sin(a – (- b))Sin(a + b) = sin a cos (- b) – cos a sin (- b)Sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b(nombres trigonométriques d’angles opposés)t après simplification,Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a – b ≠ π/2 + kπ :Tg(a – b) = tg a – tg b 1 + tg a tg b6. tg(a + b) = tg a + tg bsi a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a + b ≠ π/2 + kπ 1 – tg a tg b Démonstration:En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b) = tg a – tg b , on a :1+ tg a tg b Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a + b ≠ π/2 + kπ :Tg(a – (- b)) = tg a – tg(- b)(nombres trigonométriques d’angles opposés)1 + tg a tg(- b) Tg(a + b) = tg a + tg b 1 – tg a tg b Duplication des angles : 1. cos 2a = cos² a – sin² aDémonstration:Si l’on pose a = bCos(a + a) = cos a cos a - sin a sin aCos 2a = cos² a – sin² a2. sin 2a = 2 sin a cos aDémonstration:Si l’on pose a = bSin( a + a) = sin a cos a + sin a cos aSin 2a = 2 sin a cos a3. tg 2a = 2 tg asi 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2 1 – tg² a Démonstration:Si l’on pose a = bTg( a + a) = tg a + tg a 1 – tg a tg a Tg 2a = 2 tg a 1 – tg² aFormule de Carnot : 1. 2 cos²a = 1 + cos 2aDémonstration:Cos 2a = cos²a – sin²aCos 2a = cos²a – (1 – cos²a)Cos 2a = 2 cos² a – 12 cos²a = 1 + cos 2a2. 2 sin²a =1 – cos 2aDémonstration:Cos 2a = cos²a – sin²aCos 2a = 1 – sin²a – sin²aCos 2a = 1 – 2 sin²a2 sin²a = 1 – cos 2aMultiplication de l’angle par trois : 1. cos 3a = 4 cos³a – 3 cos aDémonstration:Cos 3a = cos(2a + a)Cos 3a = cos 2a cos a – sin 2a sin aCos 3a = (cos²a – sin²a) cos a – (2 sin a cos a) sin aCos 3a = Cos³a – cos a sin²a – 2 sin²a cos aCos 3a = Cos³a – 3 cos a sin²aCos 3a = Cos³a – 3 cos a (1- cos²a)Cos 3a = Cos³a – 3 cos a + 3 cos³aCos 3a = 4cos³a – 3 cos a2. sin 3a = 3sin a – 4 sin³aDémonstration:Sin 3a = sin(2a + a)Sin 3a = Sin 2a cos a + sin a cos 2aSin 3a = (2 cos a sin a) cos a+ sin a (cos²a – sin²a)Sin 3a = 2 cos²a sin a + cos²a sin a – sin³aSin 3a = 3 cos²a sin a – sin ³aSin 3a = 3 (1- sin²a) sin a – sin³aSin 3a = 3 sin a – 3 sin³a – sin³aSin 3a = 3 sin a – 4 sin³a3. tg 3a = 3 tg a – tg³a 1 – 3 tg²aDémonstration:///////////////////////Nombres trigonométriques en fonction de tg a/2 : 1. cos a = 1 – tg²a/2si a ≠ π + 2kπ 1 + tg²a/2 Démonstration:Cos a = cos²a/2 – sin²a/2 (duplication)Cos a = cos²a/2 – sin²a/2 cos²a/2 + sin²a/2 (cos²a + sin²a = 1) Cos a = cos²a/2 – sin²a/2 Cos²a/2(on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est cos²a/2 + sin²a/2non nul car a ≠ π + 2kπ) Cos²a/2 Cos a = 1 – tg²a 1 + tg²a 2. sin a = 2 tg a/2si a ≠ π + 2kπ 1 + tg²a/2Démonstration:Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 (duplication)Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 cos²a/2 + sin² a/2(cos²a + sin²a = 1) Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 cos²a/2(on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est cos²a/2 + sin²a/non nul car a ≠ π + 2kπ) cos²a/2 Sin a = 2 tg a/21 + tg²a/2 3. tg a = 2 tg a/2si a ≠ π + 2kπ et a ≠ π/2 + kπ 1 – tg²a/2Démonstration:Tg a = sin a cos a Tg a = 2 tg a/2 . 1 + tg²a/2 1 + tg²a/2 1 – tg²a/2 Tg a = 2 tg a/21 – tg²a/2 Factorisation (Simpson) : 1. sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos(p – q) 2 2 Démonstration:Sin(a + b) + sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b – sin b cos a)(formules d’additionSin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos bdes angles)En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q 2 2 Sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos (p – q) 2 2 2. sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q) 2 2 Démonstration:Sin(a + b) – sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) – (sin a cos b – sin b cos a)(formules d’additionSin(a + b) – sin(a – b) = 2 sin b cos ades angles)En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q 2 2 Sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q) 2 2 3. cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q) 2 2Démonstration:Cos(a + b) + cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b)(formules d’addition Cos(a + b) + cos(a – b) = 2 cos a cos bdes angles)En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q 2 2 Cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q) 2 2 4. cos p – cos q = - 2 sin (p + q) sin (p – q) 2 2 Démonstration:Cos(a + b) – cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) – (cos a cos b + sin a sin b)(formules d’additionCos(a + b) – cos(a – b) = -2 sin a sin bdes angles)En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q 2 2 Cos p – cos q = -2 sin(p + q) sin(p – q) 2 2 5. tg p + tg q = sin(p + q)si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ cos p cos q Démonstration:Tg p + tg q = sin p + sin q(définition de la tangente d’un angle) cos p cos q Tg p + tg q = sin p cos q + sin q cos p(réduction au même dénominateur)cos p cos q Tg p + tg q = sin(p + q)(formules d’addition des angles)cos p cos q 6. tg p – tg q = sin(p – q)si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ cos p cos q Démonstration:Tg p – tg q = sin p – sin q cos p cos qTg p – tg q = sin p cos q – sin q cos p cos p cos qtg p – tg q = sin(p – q) cos p cos qTransformation de produits en sommes : 1. sin a cos b = ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ]Démonstration:½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ [ (sin a cos b – sin b cos a) + (sin a cos b + sin b cos a) ]½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ (2 sin a cos b)½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = sin a cos b2. sin a sin b = ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ]Démonstration:½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) – (cos a cos b – sin a sin b) ]½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ (2 sin a sin b)½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = sin a sin b3. cos a cos b = ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ]Démonstration:½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) + (cos a cos b – sin a sin b) ]½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ (2 cos a cos b)½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = cos a cos b
Voir la version en ligne | Suspendre la réception de la newsletter : L'Usine Digitale Afin de toujours recevoir notre newsletter, merci d'ajouter usinedigitale@b2b.infopro-digital.com à votre carnet d'adresses. 13 décembre 2023
ًعن الأسباب التي تجعلنا لا ننجز و يطير الوقت من بين أيدينا، والعودة للمكاتب أصبحت قرارًا إجباريا 11 - مايو - 2023 صباح الخميس، "مصدر الحكمة الوحيد ليس هو العمر بل تأتي أيضًا من التعلم والتأمل"* *انطون تشيخوف
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