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Démonstrations des formules trigonométriques

5. tg(a – b) = tg a – tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ           1+ tg a tg b
Démonstration: Tg(a – b) = sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
                cos( a – b)    cos a cos b + sin a sin bA condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.Il vienAddition des angles :
1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Démonstration: Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b Il s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0)   De A sont (cos a ; sin a)   De B sont (cos b ; sin b)   De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b)) D’autre part, BÔA = a – b = EÔD
Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur.)
Ou encore ED²= AB²Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points, dans un repère orthonormé :[cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)²Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2 sin b sin a + sin ²a2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin bCos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a : Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) Or,cos (- b) = cos bSin (- b) = -sin b Donc, cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a Démonstration: Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires : Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) ) Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b)Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin bSin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles complémentaires)4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a : Sin(a + b) = sin(a – (- b)) Sin(a + b) = sin a cos (- b) – cos a sin (- b) Sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles opposés) t après simplification,Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a – b ≠ π/2 + kπ :Tg(a – b) = tg a – tg b
      1 + tg a tg b6. tg(a + b) = tg a + tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a + b ≠ π/2 + kπ          1 – tg a tg b
Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b) = tg a – tg b      , on a :1+ tg a tg b
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a + b ≠ π/2 + kπ : Tg(a – (- b)) = tg a – tg(- b) (nombres trigonométriques d’angles opposés) 1 + tg a tg(- b)
Tg(a + b) = tg a + tg b       1 – tg a tg b
Duplication des angles :
1. cos 2a = cos² a – sin² aDémonstration: Si l’on pose a = b Cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a Cos 2a = cos² a – sin² a2. sin 2a = 2 sin a cos aDémonstration: Si l’on pose a = b Sin( a + a) = sin a cos a + sin a cos a Sin 2a = 2 sin a cos a3. tg 2a = 2 tg a si 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2    1 – tg² a
Démonstration: Si l’on pose a = b Tg( a + a) = tg a + tg a
       1 – tg a tg a Tg 2a = 2 tg a
1 – tg² aFormule de Carnot :
1. 2 cos²a = 1 + cos 2aDémonstration: Cos 2a = cos²a – sin²aCos 2a = cos²a – (1 – cos²a)Cos 2a = 2 cos² a – 12 cos²a = 1 + cos 2a 2. 2 sin²a =1 – cos 2aDémonstration: Cos 2a = cos²a – sin²a Cos 2a = 1 – sin²a – sin²a Cos 2a = 1 – 2 sin²a 2 sin²a = 1 – cos 2aMultiplication de l’angle par trois :
1. cos 3a = 4 cos³a – 3 cos aDémonstration: Cos 3a = cos(2a + a) Cos 3a = cos 2a cos a – sin 2a sin a Cos 3a = (cos²a – sin²a) cos a – (2 sin a cos a) sin a Cos 3a = Cos³a – cos a sin²a – 2 sin²a cos a Cos 3a = Cos³a – 3 cos a sin²a Cos 3a = Cos³a – 3 cos a (1- cos²a) Cos 3a = Cos³a – 3 cos a + 3 cos³a Cos 3a = 4cos³a – 3 cos a2. sin 3a = 3sin a – 4 sin³aDémonstration: Sin 3a = sin(2a + a) Sin 3a = Sin 2a cos a + sin a cos 2a Sin 3a = (2 cos a sin a) cos a+ sin a (cos²a – sin²a) Sin 3a = 2 cos²a sin a + cos²a sin a – sin³a Sin 3a = 3 cos²a sin a – sin ³a Sin 3a = 3 (1- sin²a) sin a – sin³a Sin 3a = 3 sin a – 3 sin³a – sin³a Sin 3a = 3 sin a – 4 sin³a3. tg 3a = 3 tg a – tg³a
   1 – 3 tg²aDémonstration: ///////////////////////Nombres trigonométriques en fonction de tg a/2 :
1. cos a = 1 – tg²a/2 si a ≠ π + 2kπ    1 + tg²a/2
Démonstration: Cos a = cos²a/2 – sin²a/2 (duplication)Cos a = cos²a/2 – sin²a/2  cos²a/2 + sin²a/2 (cos²a + sin²a = 1)
Cos a = cos²a/2 – sin²a/2          Cos²a/2 (on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est
 cos²a/2 + sin²a/2 non nul car a ≠ π + 2kπ)          Cos²a/2
Cos a = 1 – tg²a 1 + tg²a
2. sin a =   2 tg a/2 si a ≠ π + 2kπ
   1 + tg²a/2Démonstration: Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 (duplication) Sin a = 2 sin a/2 cos a/2 cos²a/2 + sin² a/2 (cos²a + sin²a = 1)
Sin a = 2 sin a/2 cos a/2       cos²a/2 (on divise le numérateur et le dénominateur par cos²a/2 qui est
cos²a/2 + sin²a/ non nul car a ≠ π + 2kπ)
      cos²a/2
Sin a = 2 tg a/2 1 + tg²a/2
3. tg a = 2 tg a/2 si a ≠ π + 2kπ et a ≠ π/2 + kπ  1 – tg²a/2Démonstration: Tg a = sin a
cos a
Tg a =   2 tg a/2    .  1 + tg²a/2          1 + tg²a/2       1 – tg²a/2
Tg a = 2 tg a/2 1 – tg²a/2
Factorisation (Simpson) :
1. sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos(p – q)   2              2
Démonstration: Sin(a + b) + sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b – sin b cos a) (formules d’addition Sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos (p – q)             2              2
2. sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)     2              2
Démonstration: Sin(a + b) – sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) – (sin a cos b – sin b cos a) (formules d’addition Sin(a + b) – sin(a – b) = 2 sin b cos a des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)             2               2
3. cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)
     2                2Démonstration: Cos(a + b) + cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) (formules d’addition
Cos(a + b) + cos(a – b) = 2 cos a cos b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)               2               2
4. cos p – cos q = - 2 sin (p + q) sin (p – q)         2              2
Démonstration: Cos(a + b) – cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) – (cos a cos b + sin a sin b) (formules d’addition Cos(a + b) – cos(a – b) = -2 sin a sin b des angles) En notant  a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
  2                  2
Cos p – cos q = -2 sin(p + q) sin(p – q)               2               2
5. tg p + tg q = sin(p + q) si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ
cos p cos q
Démonstration: Tg p + tg q = sin p +  sin q (définition de la tangente d’un angle)
        cos p     cos q
Tg p + tg q = sin p cos q + sin q cos p (réduction au même dénominateur) cos p cos q
Tg p + tg q =    sin(p + q) (formules d’addition des angles) cos p cos q
6. tg p – tg q =  sin(p – q) si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ cos p cos q
Démonstration: Tg p – tg q = sin p – sin q
         cos p   cos q Tg p – tg q = sin p cos q – sin q cos p
cos p cos q tg p – tg q =  sin(p – q)
        cos p cos qTransformation de produits en sommes :
1. sin a cos b = ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ]Démonstration: ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ [ (sin a cos b – sin b cos a) + (sin a cos b + sin b cos a) ] ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ (2 sin a cos b) ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = sin a cos b2. sin a sin b = ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ]Démonstration: ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) – (cos a cos b – sin a sin b) ] ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ (2 sin a sin b) ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = sin a sin b 3. cos a cos b = ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ]Démonstration: ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) + (cos a cos b – sin a sin b) ] ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ (2 cos a cos b) ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = cos a cos b